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Para qué sirve tener un conjunto cerrado de operadores que conmuten (en MC)?

Por ejemplo, en el caso del átomo de Hidrógeno, sabemos que el conjunto de operadores que conmutan es: $\left(\hat{H}, \hat{L^2}, \hat{L_z}\right)$ .

Son 3, es decir el mimso número de grados de libertad que tiene el electrón, y además se cumple que la solución a la ec. de Schrodiger es el producto de sus eigenfunciones.

Para un sistema arbitrario, con N grados de libertad, cómo sabemos cuántos grados de libertad tiene el sistema? Sería: Numero de dimensiones + (2S + 1) + 1? donde S es el espín de la partícula.

Cómo se relacionan el conjunto de operadores que conmutan entre sí con la solución, siempre que exista dicho conjunto tendremos una solución separable, cuyas componentes son las eigenfunciones de los operadores?

Saludos y gracias!

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preguntado el 18/02/11 a las 22:48

Bala
308●1●6

Una Respuesta:

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Un conjunto completo de observables que conmutan (CCOC) es muy importante porque es un conjunto de observables que se pueden diagonalizar simultáneamente.
Uno puede identificar un estado dando los valores de los autovalores asociados al CCOC de manera no ambigua. Es decir, cualquier estado se puede entender como la proyección sobre la base de estados propios del sistema CCOC.
Dado un sistema el CCOC no es único, uno puede elegir entre distintos CCOC.
Efectivamente si tenemos un CCOC y un estado propio del mismo, si lo queremos escribir como función de onda, la función de onda será producto de las funciones de onda asociadas a cada observable. En el caso del Hidrógeno tendremos:

$R_{n,l}(r)P^m_l(\theta)e^{-im\phi}\alpha_\pm$

Porque tenemos:

El Hamiltoniano, que nos da la energía del sistema. Y que ciertamente obtenemos degeneración.--- Parte radial de la función.

Introducimos el momemento angular --- Parte de la función que depende del ángulo $\theta$

Introducimos la tercera componennte (la segunda o la primera) del momento angular --- Parte de la función que depende del ángulo $\phi$

Introducimos el espín del electrón. ---- Parte espinorial de la función de onda.

Si encontramos degeneración en un sistema es porque hay simetrías en el mismo que hace que sea imposible distinguir estados en virtud de un observable dado, por eso hay que ir completando e introduciendo observables (que conmutan entre sí para que despues los podamos medir simultáneamente sin perturbar el sistema) para ir eliminando la degeneración. Cuando encontramos que ya no tenemos degeneración, el conjunto mínimo de observables que consiguen eso es el CCOC.

Si hemos identificado todos los observables que conmutan entre sí en un sistema y nos empeñamos en introducir otro que conmute con todos los anteriores encontraremos que este último es proporcional a la identidad, así que eso nos dice que el conjunto que hemos encontrado inicialmente es el mayor de los CCOC.

respondido el 19/02/11 a las 11:01