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¿Se puede dividir un polinomio por un factor, aun cuando el polinomio puede tomar el valor de la raíz de ese factor?

Tengo el polinomio complejo dado por

$P(z) = \prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_n^k)$

donde

$\omega_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ .

Está claro que

$(z-1)P(z)=z^n-1$ .

¿De aquí se puede dividir por $z-1$ para obtener que $P(z) = 1 + z + z^2 +\cdots+z^{n-1}$ y después usar esta expresión para calcular $P(1)$ ? ¿O debo decir que esta ecuación es válida para $z\neq1$ y después probar de forma alternativa que también lo es para $z=1$ ?

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preguntado el 07/10/10 a las 00:36

hache nu
299●2●12

Una Respuesta:

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En efecto, para poder dividir ambos miembros de $(z-1)P(z)=z\sp{n}-1$ por $z-1$ debes asumir que $z\neq 1$ ; haciendo esto llegas a que $P(z)=1+z+\cdots z\sp{n-1}$ , para $z\neq 1$ . Para verificar la validez de la anterior igualdad para $z=1$ debes usar otro argumento.