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Isomorfismo entre un EV y su dual

Hola, en mi clase de relatividad el profesor nos ha dicho que para que podamos contruir un isomorfismo natural entre el espacio vectorial (espacio-tiempo de Minkowski) y su dual, es necesario definir una métrica. Sin embargo yo no estoy de acuerdo, ya que a cada vector puedo asignarle una 1-forma con la relación:

$\vec{V} = (v_0,v_1,v_2,v_3) \rightarrow v_0dx_1 + v_1dx_1 + v_2dx_2 + v_3dx_3 \in V^*$

El problema al que llegamos con esta relación es que las componentes de los vectores son contravariantes, mientras que las componentes de una 1-forma son covariantes, pero esto sigue sin convencerme del todo.

Saludos!

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preguntado el 13/09/10 a las 08:34

Bala
308●1●6

editado el 13/09/10 a las 23:40

gmedina
1293●3●9

Sugiero cambiar el título ya que no se habla de cualquier espacio y su dual sino del espacio de Minkowski y su dual. Además, ¿Cuál es la pregunta de este hilo?

( el 13/09/10 a las 15:08) gmedina

La pregunta es si existe o no un isomorfismo natural sin necesidad de recurrir a una métrica. Mi duda es en general, no solo para el espacio de Minkowski.

( el 13/09/10 a las 21:01) Bala

Ah, de acuerdo. Entonces creo que tu pregunta queda contestada en mi respuesta y en la respuesta a tu comentario posterior.

( el 13/09/10 a las 23:38) gmedina

3 Respuestas:

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Cuando se habla de "isomorfismo natural" (en este contexto) se quiere indicar que se trata de un isomorfismo que no depende de las bases escogidas. La correspondencia que tú estableciste (creo que hay alguna errata con los índices) no es natural ya que depende de la base dada por las uno formas canónicas.

Entre un espacio vectorial general y su dual no existen, en general, isomorfismos naturales; cosa bien distinta sucede entre cualquier espacio vectorial y su doble dual.

Adenda. complemento mi respuesta, a partir de un comentario de Bala: si se define una métrica, en el sentido de la geometría diferencial, (es decir, un tensor métrico), entonces sí existe un isomorfismo natural entre $V$ y su dual . De manera más general, si $B$ es cualquier forma bilineal no degenerada sobre $V$ entoncesse tiene que, para todo funcional lineal $f:V\rightarrow K$ , existe un vector $v\in B$ tal que $f=B_v$ , en donde $B_v$ es el funcional lineal dado por $B_v(w)=B(v,w)$ , para todo $w\in V$ ; es fácil ver entonces que la función $h:V\rightarrow V^*$ definida por $h(v)=B_v$ (para todo $v\in V$ ) es un isomorfismo y este isomorfismo es natural ya que no depende de las bases escogidas para $V$ o para $V^*$ .

respondido el 13/09/10 a las 15:06

gmedina
1293●3●9

editado el 17/02/11 a las 21:38

Algunas preguntas más:

Qué importancia tiene hacer una distinción entre un isomorfismo natural y uno que dependa de las bases?

Entonces basta definir una métrica para que exista este isomorfismo natural?

Saludos y gracias gmedina.

( el 13/09/10 a las 21:04) Bala

He agregado a la respuesta original la respuesta al nuevo interrogante del comentario y he marcado mi respuesta como aceptada.

( el 17/02/11 a las 21:31) gmedina

No tengo a mano ese libro ahora mismo, pero seguramente es el típico diagrama categórico para la transformación natural en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo (o, más generalmente, en la categoría de módulos (a izquierda) sobre un anillo) entre el funtor identidad de la categoría y el funtor que asigna a cada espacio su doble dual; esta transformación natural es, de hecho, un isomorfismo natural si se trata de espacios vectoriales de dimensión finita.

Que ese diagrama conmute es precisamente la definición, en la teoría de categorías, de una transformación natural entre funtores.

respondido el 24/09/10 a las 00:45

gmedina
1293●3●9

Entonces que diferencia a un isomorfismo de un isomorfismo natural, es decir, para que se hace esa distinción?

Muchas gracias gmedina.

( el 24/09/10 a las 06:54) Bala

Los isomorfismos naturales (en el sentido en que no dependen de las bases escogidas, por ejemplo) son isomorfismos en sentido categórico; es decir, son transferibles al ámbito de la teoría de categorías. Los isomorfismos no naturales no tienen sentido categórico.

( el 24/09/10 a las 15:01) gmedina

Gracias gmedina, saludos.

( el 25/09/10 a las 19:54) Bala

Hola, no he dejado de pensar en el asunto y hace poco me encontré que en el Spivak de Geometría Diferencial Vol.1, en el problema 3.6, dice que existe un isomorfismo es natural si cierto diagrama siempre conmuta y no existe si no conmuta el diagrama. En particular pide mostrar que el diagrama con el espacio vectorial y su doble dual si conmuta y en el caso del dual no.

Qué me dice la conmutación de este diagrama de la relación entre los espacios vectoriales?

Saludos!

respondido el 23/09/10 a las 23:15

Bala
308●1●6

editado el 23/09/10 a las 23:16

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Etiquetas de la pregunta:

matemáticas ×88
espacio-dual ×1
espacio-vectorial ×1
isomorfismo ×1
metrica ×1

pregunta formulada: el 13/09/10 a las 08:34

pregunta vista: 3,373 veces

última actualización: el 17/02/11 a las 21:39

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