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Relaciones de conmutación

¿De dónde salen las relaciones de conmutación de Heisenberg? Es decir, Heisenberg planteó que las magnitudes clásicas posición $q_j$ y momento $p_j$ tenían asociadas unas cantidades cuánticas $Q$ y $P$ tales que
$Q_iQ_j-Q_jQ_i=0$
$P_iP_j-P_jP_i=0$
$P_iQ_j-Q_jP_i=-i\hbar\delta_{ij}I$
donde después descubrió que estas relaciones ya habían sido estudiadas en el álgebra de matrices. ¿Qué evidencias experimentales llevan a esto?

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preguntado el 30/07/10 a las 20:53

hache nu
299●2●12

editado el 30/07/10 a las 20:54

5 Respuestas:

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La estructura matricial se creó ad hoc para desarrollar ciertas cosas, para quitarse de encima a la farragosa teoría cuántica primigenia basada en componentes de Fourier y tal. Digamos que no fue que hubiera experimentos que demandaran esta estructura, era una cuestión práctica.

Heisenberg tiró por las matrices porque le pareció mejor enfocarlo de ese modo. Y mira tú por donde, al menos en la mecánica cuántica relativista de Dirac se recupera esta idea en gran medida.

El hacer un análogo de los paréntesis de Poisson era cuestión de tiempo al plantear algo tan parecido a la mecánica analítica.

De que dos operadores no conmuten sale el principio de incertidumbre de manera inmediata, como conclusión de este hecho. Es algo que sorprende bastante, pero es una conclusión de la teoría antes, mucho antes de que pudiera verificarse experimentalmente de modo alguno.

respondido el 31/07/10 a las 02:22

MiGUi
1816●1●14

Hola MiGUi, gracias por tu respuesta. Quizás no la he entendido bien, o quizás no la he planteado bien, pero mi intención era saber de dónde salen explícitamente estas relaciones, gracias.

( el 02/08/10 a las 01:56) hache nu

Dichas relaciones vienen del siguiente hecho:

1.- Se supone que una teoría cuántica tiene que recuperar en el límite de constante de Planck nula la teoría clásica correspondiente.

2.- Eso implica que $\[,\]\rightarrow i\hbar\{,\}$

De forma que se buscan representaciones de las variables clásicas elementales en términos de operadores actuando sobre un espacio de Hilbert tal que se satisfaga esa relación.

Esto de forma muy resumida es lo que se conoce como cuantización canónica, que básicamente dice que las relaciones de conmutación son una deformación del algebra de Poisson cásica. Hay otros métodos de cuantización donde se introducen toda una serie en términos de la constante de Planck, como por ejemplo los que usan los productos estrella (no conmutativos) o productos de Moyal.

respondido el 03/08/10 a las 18:07

Askedton
3167●2●9

editado el 04/08/10 a las 22:42

Pero, cuando Hesienberg no sabía ni lo que eran las matrices, que se lo tuvo que explicar Hilbert, ¿sabía lo que era un conmutador? Es que creo que esto vino a posteriori (que igual no, no sé).

( el 05/08/10 a las 19:19) hache nu

Pero es que una cosa es la línea histórica del desarrollo de la cuántica y otra es la línea conceptual.

¿Estas preguntando por la línea histórica o por la conceptual?

Heisenberg no sabía lo que eran las matrices, pero lo que estaba haciendo era trabajar con matrices sin saberlo. (Por cierto, el que le explicó que eran matrices eso que estaba trabajando fué Born).

( el 05/08/10 a las 21:36) Askedton

Perdón por tardar en responder. Me refiero al desarrollo histórico, sí. Lo que quiero saber es de dónde saco Heisenberg que esas relaciones las tenía que cumplir cualquier sistema físico cuántico.

( el 12/08/10 a las 22:47) hache nu

hache nu, estoy apurado, asi que no puedo explayarme, pero tu mismo puedes calcular esos conmutadores partiendo de la formula del operador momento lineal de una funcion de onda: $Px = -i h_barra d/dx$ (Wikipedia). Y recordando que, por la regla de la cadena, d/dx ( x * f(x)) = f(x) + x*df/dx = (1 + x * d/dx) f(x). :)

Lo que lleva a esa formula para el operador momento lineal es la identidad Energia :: Frecuencia, Momento lineal :: 1/ Longitud de onda. La Relatividad nos enseno que la masa es un nombre que le dimos a la energia de una particula en reposo respecto a nosotros; la Cuantica, que la energia es un nombre que le dimos a la frecuencia a la que oscila la fase compleja de la funcion de onda de dicha particula. Una particula de energia y momento lineal definidos tiene como funcion de onda e^i(w*t + k*x): De ahi ves que 1/i d/dx de la funcion de onda es k, que es P/h_barra :)

respondido el 03/08/10 a las 22:18

Jorge
1118●2●10

editado el 03/08/10 a las 22:27

@Jorge: no es realmente la regla de la cadena lo que se usa en lo que has puesto; es tan solo la expresión para la derivada de un producto.

( el 03/08/10 a las 22:21) gmedina

Igual se hace para el momento angular, sólo con hacer la sustitución

(tex)vec{p}to -i hbar frac{partial}{partial x}(/tex)

( el 03/08/10 a las 22:22) manzano

gmedina: gracias por el apunte. Ups! :)

( el 03/08/10 a las 22:28) Jorge

Pero es que el argumento es justamente al contrario, la forma de los operadores X y P en cuántica es la que es (lo que se llama elegir la representación) justamente para ser consistentes con la regla de cuantización canónica y asegurar que hay un límite clásico bien definido.

De hecho esas fórmulas que se han puesto valen cuando trabajamos en la representación de posiciones. Pero si trabajamos en otra representación la cosa cambia.

( el 04/08/10 a las 10:59) Askedton

Pero me faltan algunos pasos para entender por qué la construcción es en el sentido que dices (es un tema que no controlo): ¿Por qué cambiar paréntesis de Poisson por conmutadores? (La fórmula es diferente - ¿es que se puede llegar de una a la otra?). Una vez hecho el cambio, ¿en base a qué decido dónde pongo las h y dónde pongo ceros? (¿Por qué no [Qi,Qj]->ih y [Qi,Pi]-> 0? ¿O por qué no todos 0 y listo? ¿Qué tienen de malo los otros métodos de cuantización que nombras?).

La argumentación se puede construir (también) en el sentido que digo yo, si no me estoy dejando nada, así: (1) vemos, por el efecto fotoeléctrico, que en los cuantos de luz E = h_barra nu (y por tanto p = h_barra k). En una onda de frecuencia y longitud de ondas determinadas, k = 1/i d/dx. (2) La doble rendija y

( el 04/08/10 a las 19:25) Jorge

DeBroglie nos dicen que las partículas son cuantos de oscilaciones, así que extrapolamos y vemos en el experimento que la relación sigue funcionando. (3) Si queremos una partícula con, p.ej., posición definida, lo escribimos como una superposición de ondas planas, como se ha hecho de toda la vida en mecánica ondulatoria. Así, podemos escribir las funciones de onda como vectores y Q y P como matrices. Al cambiar de representación (de base), cambian sus elementos acordemente (o sea, cambia la fórmula de Q y P). Pero el conmutador no cambia. Usé en mi explicación la base de Dirac, pero mi argumento es independiente de la representación :)

( el 04/08/10 a las 19:43) Jorge

Porque en cuántica los observables se convierten en operadores sobre un espacio de Hilbert donde viven los estados del sistema. Por eso hay que cambiar el paréntesis de Poisson por conmutadores.

La cuantización se puede entender como una "aplicación" que convierte el espacio de fases clásico en un espacio de Hilbert y el álgebra de funciones observables (dada por el paréntesis de Poisson) en un álgebra de operadores (dada por el conmutador).

A eso lo llamamos cuantizar un sistema.

Por qué no las otras posibilidades?

Porque esas posibilidades nos darían teorías cuyo límite clásico no correspondería a las teorías clásicas dconocidas.

De hecho uno podría imponer (tex)[Q_i,Q_j]=ihbardelta_{ij}(/tex), entonces las coordenadas no conmutan. Eso da geometrías no conmutativas.

( el 04/08/10 a las 22:48) Askedton

mostrando 5 un total de7 ver todo

Heisenberg se concentró en mejorar las ideas de Borh y Sommerfeld. Para ello lo primero que hizo fué tomar como principio lo siguiente:

Únicamente se han de emplear cantidades observables experimentalmente en la formulación de una teoría física.

Esto hacía que hubiera que renunciar al empleo de trayectorias.

Entonces su teoría se basaba en lo siguiente:

1.- Supongamos que la posición del electrón en el átomo de Hidrógeno (por usar el caso más simple) viene dado por x(n,t). Donde n está relacionado con la energía del sistema.

2.- Siempre podemos escribir $x(n,t)=\sum_\alpha a_{\alpha}(n)e^{i\omega(n)t}$ . Donde el alfa es un número entero que identifica el estado (en este caso relacionado con la energía también).

3.- Los coeficientes del desarrollo de Fourier anterior dependen de la energía, por lo tanto son observables. Y el factor exponencial depende de una frecuencia relacionada nuevamente con la energía. (Estos factores se pueden determinar espectroscópicamente por lo tanto son observables).

4.- Heisenberg determinó que cada término del desarrollo se podría escribir de forma discreta del siguiente modo: $a(n,n-\alpha)e^{i\omega(n,n-\alpha)t}$ . Dependiendo de saltos entre estados de energía dada (que es lo que se mide en el experimento espectroscópico por ejemplo).

Por lo tanto tenemos dos etiquetas la n y la alfa y podemos organizar esto en forma de matriz (infinita, tantos elementos como términos del desarrollo anterior).

Luego encontró que este tipo de "tablas" porque el no habló de matrices (eso lo hiciero Born y Jordan) se podían multiplicar pero su multiplicación no era conmutativa. De ahí a calcular el conmutador hay un paso (que los primeros en calcular de nuevo fueron Born y Jordan).

respondido el 13/08/10 a las 00:02

Askedton
3167●2●9

Quizás este artículo sea de interés:

On quantum mechanics. Born and Jordan

( el 13/08/10 a las 00:03) Askedton

-2

Toda esta historia pasa realmente a través de la formulación simpléctica de la Mecánica Clásica (i.e. a través de la correspondiente variedad simpléctica). Esto implica que el conjunto de observables sobre el espacio de Hilbert que define el sistema (i.e. el espacio de operadores autoadjuntos) tiene que tener la estructura de álgebra, cuya operación interna natural es el conmutador. Además, de esta manera, se obtiene de manera natural la identificación de los observables con los generadores del grupo de Lie de transformaciones unitarias.

Partiendo de la descripción simpléctica clásica de un sistema físico, y obviando los detalles, el proceso de cuntización es una aplicación 1-1 entre el conjunto de los observables clásicos (funciones C-infinito sobre la variedad) y el conjunto de los observables cuánticos (operadores autoadjuntos sobre el espacio de Hilbert), que además debe cumpli alguna condición más.

respondido el 06/08/10 a las 04:37