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[cerrado]¿Qué pinta tienen las ecuaciones del campo gravitatorio en la relatividad General para el sistema Tierra-Sol?

Si bien la relatividad General supone una corrección sobre la ley de gravitación de Newton, ¿deja ésta de tener una dependencia con la inversa del cuadrado de la distancia?

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preguntado el 30/08/10 a las 01:13

pabluka
329●7

cerrado el 15/09/10 a las 22:49

Esta pregunta se ha cerrado porque "La pregunta ha sido respondida satisfactoriamente". Cerrada por pabluka el 15/09/10 a las 22:49

Una Respuesta:

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Puesto que la masa del Sol es mucho más grande que la de la Tierra, lo ideal en este caso es suponer una aproximación a la métrica de Schwarzschild: solución con simetría esférica de la Relatividad General, en la que suponemos el Sol estático y la Tierra, de masa despreciable, moviéndose en geodésicas respecto a él.

La métrica de Schwarzschild es de la forma:

$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu = -c^2 \left( 1 - \frac{2GM}{rc^2} \right) dt^2 + \frac{1}{1- \frac{2GM}{rc^2}} dr^2 +r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d \phi^2$

En nuestro caso $M$ es la masa del Sol. Y la Tierra se moverá según las geodésicas:

$\frac{d^2 x^\mu }{ds^2} + \Gamma^\mu_{\sigma \rho} \frac{dx^\sigma}{ds} \frac{dx^\rho}{ds} = 0$

Los símbolos de Christoffel se obtienen a partir de la métrica:

$\Gamma^\mu_{\sigma \rho} = \frac{1}{2} g^{\mu \nu} \left( g_{\nu \sigma , \rho} + g_{ \rho \nu , \sigma} - g_{\sigma \rho , \nu} \right)$

con lo que las geodésicas quedan, haciendo el cambio $\mu = \frac{GM}{c^2}$ :

$\ddot{t} + \frac{2 \mu}{r (r - 2 \mu)} \dot{t} \dot{r} = 0$
$\ddot{r} + \frac{\mu (r - 2 \mu )}{r^3} \dot{t}^2 - \frac{\mu}{r (r - 2 \mu)} \dot{r}^2 - (r- 2 \mu ) \left( \dot{\theta}^2 + \sin^2 \theta \dot{\phi}^2 \right) = 0$
$\ddot{\theta} + \frac{2 \dot{r}}{r} \dot{\theta} - \sin \theta \cos \theta \dot{\phi}^2 = 0$
$\ddot{\phi} + \frac{2 \dot{r}}{r} \dot{\phi} + \frac{2}{\tan \theta} \dot{\theta} \dot{\phi} = 0$

(esto lo he sacado de http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9trica_de_Schwarzschild, que no había ganas de ponerse a hacer cálculos)

Se puede comprobar que para trayectorias con $r >> \mu$ la solución es muy parecida a la Newtoniana, ya que un requisito de la RG es corresponderse con el límite Newtoniano en la aproximación de campo débil y estático. En cuanto a la dependencia con la inversa del cuadrado de la distancia, se mantiene pero aparecen correcciones. En concreto, según la Wiki, la aceleración aparente respecto a un observador estático (en el infinito) se ve corregida: $\frac{GM}{r^2} \left( 1 + \frac{\mu}{r} \right)$ .

P.D.: El convenio de sumación de Einstein: $A_\mu B^\mu \equiv \sum_\mu A_\mu B^\mu$ es implícito.

respondido el 30/08/10 a las 23:56

darthyoda
993●1●10

Una excelente exposición. Pero hay que insistir en que esto es una aproximación para un sistema donde uno de los elementos tiene masa despreciable. Schwarzschild es una solución de vacío.

Lo que no se suele comentar en los cursos introductorios de RG es que en esta teoría no se puede resolver el problema de dos cuerpos de manera exacta (en contraposición a la situación Newtoniana).

( el 01/09/10 a las 20:16) Askedton

darthyoda, en tus cuatro ecuaciones de las geodésicas, ¿¿el punto es derivada total respecto al tiempo propio?? (Pregunto porque me extraña ver un t¨ :) )

( el 01/09/10 a las 20:34) Jorge