¿Qué es una teoría cuántica de campos topológica?

Una teoría de campos topológica es una teoría invariante bajo cambios arbitrarios en la métrica (la métrica sigue siendo, no obstante, un background field). Esta definición (para una definición totalmente rigurosa desde el punto de vista matmático puedes consultar el famoso "Topological Quantum Field Theory" de Atiyah) no implica estrictamente que los observables dependan sólo de la topología en la variedad. Por ejemplo, en el caso de que la variedad sea compleja, las funciones de correlación dependen de la topología en la variedad pero también de la forma concreta de obtener las coordenadas complejas a partir de las reales (es lo que se denomina una elección de la estructura compleja).

Si además la teoría posee invariancia bajo cambios generales de coordenadas , entonces los observables no dependen de los puntos de inserción de los operadores.

Es relevante en el contexto de la Física Matemática y los sistemas integrables, aunque tampoco te puedo dar muchos detalles.

Asimismo, en Teoría de Cuerdas, la Topological String Theory ha tenido cierta repercusión en el contexto de los agujeros negros, mediante la identificación de funciones de partición.

Punto cero. Muchos lectores no comprenderán lo que voy a escribir a continuación. Pero si ponen un poquito de esfuerzo, aunque no se enteren de muchos detalles, yo espero haber logrado transmitir la idea que subyace a la palabra "topológica" utilizada en el contexto de la pregunta. Los lectores que sean físicos (teóricos) no tendrán problema en entender lo que voy a decir, que espero aclare el significado de la palabra "topológica" en este contexto (quizás no sea el término más apropiado pero es el término usado normalmente).

Lo primero. Una teoría cuántica de campos topológica es una teoría cuántica de campos. No hay que olvidarlo. ¿Qué es una teoría cuántica de campos (QFT)? El concepto es muy general y da cabida a muchas cosas, no entraré en detalles técnicos. Asumo a partir de hora que el lector tiene una cierta idea "intuitiva" de lo que es un campo, de lo que es una teoría de campos, de lo que es una teoría de campos invariante relativista, de lo que es un campo cuántico y de lo que es una teoría cuántica de campos. Creo que es razonable suponer que alguien a quien le interese la respuesta a esta pregunta tan técnica tiene dicha idea "intuitiva"

Lo segundo. El término teoría cuántica de campos topológica surge en un contexto histórico en el que se entiende por el término teoría cuántica de campos "usual" (sin coletillas) un tipo concreto de teoría cuántica de campos (QFT) que se llaman teorías de Yang-Mills o teorías gauge. Estas teorías incorporan simetrías gracias a un grupo de Lie (grupos continuos que son una variedad diferenciable) y las partículas de la teoría se describen mediante representaciones (es un concepto técnico) de dicho grupo (que siempre se puede interpretar como un subgrupo del grupo de Lie de las matrices invertibles). La teoría es invariante ante las simetrías del grupo y aparecen de forma natural un conjunto de invariantes asociados a dicho grupo (un invariante es una magnitud física conservada en las interacciones del campo). La relatividad especial requiere que las simetrías sean locales. Los invariantes asociados a dichas simetrías corresponden a "cargas" asociadas a las partículas de la teoría. Por ejemplo, en QED que es una QFT basada en el grupo de simetrías a la invarianza ante cambios de fase de una función de onda compleja, grupo llamado U(1), la versión local de dicha teoría gauge describe el electromagnetismo y aparece de forma natural un invariante llamada carga eléctrica. La simetría U(1) de la teoría implica que existe la carga eléctrica y que la carga eléctrica se conserva.

Si algún lector ha llegado a este punto y no se ha enterado de nada puede continuar leyendo si piensa que una teoría cuántica de campos es una teoría invariante a ciertas simetrías que tienen asociadas "cargas" similares a la carga eléctrica. Si tampoco le sirve esto quizás no merezca la pena que siga leyendo.

Lo tercero y último. ¿Qué es entonces una teoría cuántica de campos topológica? Es una teoría cuántica de campos que presenta "cargas" (se les suele llamar "cargas topológicas") conservadas que están asociadas a ciertas simetrías ante las cuales la teoría es invariante, como en una QFT "usual" pero cuando dichas simetrías que actúan sobre las funciones de onda no tienen estructura de grupo de Lie (es decir, simultáneamente de grupo y de variedad diferencible). Muchas veces estas simetrías tienen estructura de grupo discreto pero sin poder recibir estructura de variedad diferencial. En este sentido no se puede definir una métrica (una estructura diferenciable que permita medir distancias) entre las simetrías y no podemos saber, por ejemplo, si dos simetrías son "cercanas" (no hay distancia entre simetrías). La QFT topológica tiene simetrías pero que no tienen estructura geométrica subyacente. Por ello se utiliza (quizás impropiamente) el término topológico. ¿Forman las simetrías de estas teorías variedades topológicas? Normalmente sí, pero no siempre. En una QFT topológica no es necesario que sus simetrías tengan estructura topológica (como erróneamente se podría pensar).

Espero haber aclarado algo este asunto.

PS: el interés en las QFT topológicas (TQFT) está en que ofrecen ciertas ventajas técnicas respecto a las QFT "convencionales" (GQFT). Por ejemplo, en la versión clásica de una GQFT las "cargas" suelen ser continuas y solo tras la cuantización adquieren valores discretos. En muchas TQFT clásicas aparecen "cargas" discretas, como las asociadas a contar el número de agujeros en la variedad a la que pertenecen las funciones de onda predichas por la teoría, que se preservan como discretas en la versión cuántica de la teoría; muchas veces estas "cargas" discretas están asociadas a grupos, como en el caso de los números de Betti y los grupos de homología.

¿Cuál es la desventaja de las TQFT? Sabemos cuantizar una GQFT con técnicas generales (hay varias) y estudiar las propiedades de sus soluciones y de la teoría misma (renormalizabilidad, teoría de perturbaciones, etc.). Sin embargo, cada TQFT requiere técnicas específicas de cuantización y de análisis (en función de las propiedades concretas que presente dicha TQFT). Muchas son técnicas "exóticas" poco dominadas por la mayoría de los físicos teóricos que hacen que estas teorías se consideren demasiado "exóticas" para la física de todos los días.

El gran interés en la TQFT partió de la teoría de cuerdas. Las cuerdas definen un mundo propio 1+1 y viven un espacio n+1 (normalmente, 9+1, con 6 dimensiones compactificadas dejando "visibles" solo 3+1). En el mundo 1+1 de las cuerdas es más natural utilizar una TQFT que una GQFT (estas últimas suelen ser triviales en 1+1) (en teoría de cuerdas lo habitual es que la simetría gauge se implemente usando las 6 dimensiones compactificadas). Más aún, se buscan 1+1 con ciertas propiedades "interesantes" como la integrabilidad (ahora mismo muy de moda). No quiero entrar en detalles. Solo quisiera aclarar que cuantizar la versión clásica de una QFT 1+1 integrable requiere técnicas específicas pero que están muy estudiadas y ofrecen un nuevo enfoque teórico muy interesante en el contexto de las QFT, más allá de las grandes restricciones impuestas por las teorías gauge. Aunque las TQFT nunca han estado de moda, recientemente se ha reavivado el interés, sobre todo entre los teóricos de cuerdas que da día ven más lejos su "utópica" TOE. Quizás estemos asistiendo a una nueva revolución en teoría de cuerdas, la revolución de la integrabilidad y las técnicas no perturbativas que aprovechan la integrabilidad. Quizás me aventuro afirmando esto. No me toméis al pie de la letra, pero creo que la tercera revolución de la teoría de cuerdas se está gestando ahora mismo y la palabra clave es "integrabilidad" (o a colación de esta pregunta TQFT integrable).