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Según dicen la teoría de la relatividad general es una teoría gauge, cuyo grupo gauge son los difeomorfismos sobre la variedad espaciotemporal. Además tenemos las teorías de Yang-Mills que son teorías gauge (y todas las interacciones no gravitatorias del modelo estándar son teorías de este tipo). Según creo recordar estas teorías son renormalizables y dan resultados finitos cuando se calculan observables físicos. Sin embargo, la gravedad no se ha podido cuantizar y los intentos de realizar una cuantización análoga a la teorías gauge da lugar a una teoría no renormalizable. ¿Por qué pasa esto? |
Esta pregunta se ha cerrado porque "La pregunta ha sido respondida satisfactoriamente". Cerrada por Askedton el 18/08/10 a las 20:40
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Bueno, ya respondí a esta pregunta en la pregunta original. La diferencia es que en una teoría de Yang Mills el grupo local de invariancia es un grupo de Lie (finito), mientras que en una teoría gauge general no tiene por qué serlo. En concreto, el conjunto de difeomorfismos generales sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana no forma en general un grupo de Lie (aunque el grupo de isometrías sí). El grupo de difeomorfismos sobre una variedad es, por así decirlo, "demasiado grande" para poder conformar un grupo de Lie. Por tanto, las teorías de Yang Mills constituyen un subconjunto dentro de todas las teorías gauge (que presentan una invariancia local sin la exigencia de que el grupo de invariancia sea un grupo de Lie). Entonces: ¿Si el grupo "gauge" son los difeomorfismos la teoría no es renormalizable? Que era la pregunta que se estaba formulando en este caso. ¿Por qué las teorías gauge tipo Yang-Mills son renormalizables y la Relatividad General no? Porque el grupo gauge es totalmente diferente. En un caso es un grupo de Lie finito (tiene un conjunto finito de generadores etc) mientras que el otro no lo es. Si quieres ver algunos detalles de cómo esto es relevante en la cuantización de la teoría, puedes consultarlo en el tomo 2 del Weinberg. Esta claro que los grupos gauge son diferentes. De hecho hay gente que no opina que la relatividad general sea una teoría gauge ya que entienden que una teoría gauge ha de tener un grupo de simetría interno no trivial. En general una teoría tiene como simetrías el producto semidirecto de las simetrías internas (gauge) y las espaciotemporales (Poincaré en teoría cuántica de campos). Sin embargo en RG el grupo de simetrías internas es la identidad y solo quedan los difeomorfismos que actúan sobre las cartas de la base. Ahora bien, la pregunta que yo estaba haciendo es: ¿Por qué las teorías gauge usuales son renormalizables y RG no? Ya te ha respondido: es por el grupo gauge en un caso y en otro. La RG es una teoria gauge en el sentido de que tiene un grupo de invariancia local, simplemente. Es la nomenclatura usual que se suele encontrar en Fisica. La estructura de producto semidirecto que comentas solo cobra sentido para grupos de Lie (en concreto la importante estructura de algebras de Lie semisimples asociada), con lo que de nuevo nos movemos en el contexto de las teorias de Yang Mills, ya que al exigir la presencia de una simetría interna de la estructura que comentas estas exigiendo la presencia de un grupo de Lie como grupo de simetría local. Como es una cuestión de nomenclatura (es decir, que entiendes por teoría gauge), no creo que merezca la pena más comentario, aunque ya te digo que se suele entender por teoría gauge una teoría con un grupo local de invariancia (sin alusión alguna a su estructura). En cuanto al proceso de cuantización,como ya te dije,lo puedes consultar en el tomo 2 del Weinberg, donde detalla la importancia de que el grupo de simetria sea un grupo de Lie, y resalta en que puede influir. Sobre cómo la RG se considera una teoría gauge, la importancia que esto tiene, e incluso la formulación como una SRFT, puedes consultar el libro de Tomás Ortín Gravity and Strings. Mi pregunta no es sobre la definición de teoría gauge que es cuestión de convenio y ya ha quedado clara. Mi pregunta es acerca de la influencia de los diferentes tipos de teorías gauge con la renormalización. Así que la pregunta aún no ha sido respondida. El libro de Ortín lo conozco, pero me gustaría una respuesta suscinta y escueta a la cuestión que he planteado.
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No se ponen comentarios que no aportan nada a la pregunta, esto no es un foro :)
Supongo que la diferencia principal radicará en que el grupo gauge de las teorías de Yang-Mills tiene un número finito de generadores que forman el álgebra de Lie, pero desconozco cómo interviene esa diferencia o si hay algún punto más.
Evidentemente no existe una respuesta sucinta y escueta. La cuantización de las teorías de Yang Mills no abelianas no es un asunto trivial, y la manera en que la estructura del grupo de Lie juega un papel tampoco. Por eso te remito al libro de Weinberg, tomo 2, que seguro que te lo explica mejor que yo. Y sino siempre puedes recurrir al clásico de Bailin (Introduction to gauge field theory).